Định lý này được chứng minh bằng quy nạp.

Ta có biểu thức P ( n ) : ( 1 + x ) n = ∑ k = 0 n C n k x k {\displaystyle P(n):(1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}x^{k}} (1) với mọi số tự nhiên n.

Đầu tiên tại P(1) đúng.

giả sử P(n) đúng, ta phải chứng minh P ( n + 1 ) : ( 1 + x ) n + 1 = ( 1 + x ) . ∑ k = 0 n C n k x k = ( 1 + x ) {\displaystyle P(n+1):(1+x)^{n+1}=(1+x).\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}x^{k}=(1+x)} và ∑ k = 0 n C n k x k + 1 = ∑ k = 1 n C n k − 1 x k + x n + 1 {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}x^{k+1}=\sum _{k=1}^{n}C_{n}^{k-1}x^{k}+x^{n+1}}

áp dụng hằng đẳng thức Pascal ta có:

( 1 + x ) n + 1 = 1 + ∑ k = 1 n ( C n k + C n k − 1 ) . x k + x n + 1 = C n + 1 0 . x 0 + ∑ k = 1 n C n + 1 k . x k + C n + 1 n + 1 . x n + 1 = ∑ k = 0 n + 1 C n + 1 k x k {\displaystyle (1+x)^{n+1}=1+\sum _{k=1}^{n}(C_{n}^{k}+C_{n}^{k-1}).x^{k}+x^{n+1}=C_{n+1}^{0}.x^{0}+\sum _{k=1}^{n}C_{n+1}^{k}.x^{k}+C_{n+1}^{n+1}.x^{n+1}=\sum _{k=0}^{n+1}C_{n+1}^{k}x^{k}}

Do đó công thức (1) đúng.

giờ đặt x = b a => ( 1 + b a ) n = ∑ k = 0 n C n k b k a k {\displaystyle x={\frac {b}{a}}=>(1+{\frac {b}{a}})^{n}=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}{\frac {b^{k}}{a^{k}}}} và do đó ( a + b ) n = a n ( 1 + b a ) n = a n ∑ k = 0 n C n k b k a k = ∑ k = 0 n C n k a n − k b k {\displaystyle (a+b)^{n}=a^{n}(1+{\frac {b}{a}})^{n}=a^{n}\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}{\frac {b^{k}}{a^{k}}}=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}}

Ta có điều phải chứng minh.